VIII COMPETENCIA DE CLUBES CABRI (1998)

Ronda Final

Nivel 2 12 de setiembre de 1998

Tiempo Máximo: 2 horas

No se puede consultar libros ni apuntes.

Al finalizar guardar los dibujos en archivos del disco duro.

Problema 1

i) Construir un triángulo ABC con todos sus ángulos agudos, trazar las alturas AD, BE y CZ de tal forma que D, E y Z pertenezcan a los lados BC, AC y AB respectivamente. Llamar H al punto donde se cortan las alturas , M al punto medio de BC y N al punto medio de AH.

ii) Demostrar que MN es perpendicular a EZ.

iii) MN corta a la bisectriz del ángulo BAC en J demostrar que los puntos A, E, J y H están en una circunferencia.

Problema 2

i) Construir un triángulo ABC y llamar D, E, Z, H y J a los puntos medios de los segmentos BC, AD, BD, ED y EZ respectivamente, llamar I al punto de corte de BE con AC y K al punto de corte de HJ con AC.

ii) Probar que AK es el triple de CK.

iii) Probar que HK es el triple de HJ.

iv) Probar que el área del triángulo ABC es 32 veces el área del triángulo EJH.