VII COMPETENCIA DE CLUBES CABRI (1997)

Ronda Final

Nivel 2

16 de mayo de 1998

Tiempo Máximo: 2 horas

No se puede consultar libros ni apuntes.

Al finalizar guardar los dibujos en archivos del disco duro.

Problema 1

i) Construir una circunferencia C, tomar un diámetro BP fijo, tomar un punto A variable en C, trazar la altura AH del triángulo ABP y llamar M al punto medio de BP.. Llamar F y E a las proyecciones ortogonales de H sobre AB y AP respectivamente. Llamar D y G a las intersecciones de la mediatriz de AM con AB y AP respectivamente. Mover A y que la figura mantenga sus características.

ii) Demostrar que el ángulo DMG mide 90 grados.

iii) Demostrar que EF es paralela a DG.

iv) Demostrar que existe una circunferencia fija a la cual es siempre tangente DG.

Problema 2

Dibujar un segmento AB' y B su punto medio, trazamos la circunferencia C de diámetro AB y la circunferencia C' de diámetro AB'. Trazar el diámetro PD de C' que sea perpendicular a AB y en el arco PAD tomar un punto variable M. La recta AM vuelve a cortar a la circunferencia C en E y la recta BM vuelve a cortar a la circunferencia C en F. Trazar la recta s perpendicular a AB por A.

Se pide:

i) Mover M y que la figura mantenga sus características. ii) Demostrar que AM es bisectriz del ángulo que forma r con AB.

iii) Las rectas AF y BE se cortan en H; demostrar que MH es perpendicular a AB.