V COMPETENCIA DE CLUBES CABRI (1995)

5^ta Competencia de Clubes Cabri

2^da Ronda

Nivel 1

Problema 1

Dada una circunferencia C fija de centro O, y radio r. Trazar un triángulo equilátero ABC variable e inscripto en C ( sentido antihorario ). Trazar la recta t tangente a la circunferencia C en A y la recta s paralela a AB por C; t y s se cortan en D.

Se pide:

i) Calcular la razón entre las áreas de ABC y ADCO.

ii) Hallar el lugar geométrico de D.

Problema 2

Construir un triángulo escaleno ABC y su circunferencia circunscripta C. Se traza la bisectriz del ángulo BAC que vuelve a cortar a la circunferencia C en N. La simétrica de la bisectriz anterior respecto de AC corta a la circunferencia C en A y M. El punto Q es la intersección de MN con BC y el punto P lo es de MN con AC.

Se pide :

i) Probar que el triángulo NQC es isósceles.

ii) Tomar un punto A variable en uno de los arcos BC de la circunferencia C. Hallar el lugar geométrico del circuncentro ( K ) del cuadrilátero APQB.

iii) Hallar el Lugar geométrico del simétrico del punto B respecto del punto K.

Problema 3

Dado un triángulo ABC encontrar un punto M en el lado BC de forma tal que la paralela a AC por M corte a AB en Q, la paralela a AB por M corte a AC en P y que el paralelogramo APMA tenga perímetro dado.